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2008年天津市初中毕业升学考试数学试卷

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2008 年天津市初中毕业升学考试数学试卷 年天津市初中毕业升学考试数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.试卷满 分 120 分.考试时间 100 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. cos 60 o 的值等于( A. )
1 2 3 B. C. D. 1 2 2 2 2. 对称现象无处不在,请你观察下面的四个图形,它们体现了中华民

A. y = 2 x 2 + 5 C. y = 2( x + 5) 2

B. y = 2 x 2 ? 5 D. y = 2( x ? 5) 2 )

6. 掷两枚质地均匀的硬币,则两枚硬币全部正面朝上的概率等于( 1 1 A. 1 B. C. D. 0 2 4 7. 下面的三视图所对应的物体是( )

族的传统文化,

A. B. C. 8. 若 m = 40 ? 4 ,则估计 m 的值所在的范围是( 其中,可以看作是轴对称图形的有( A. 1 个
3 2 a 4

D. ) D. 4 < m < 5 )

) D. 4 个 )

A. 1 < m < 2

B. 2 < m < 3

C. 3 < m < 4

B. 2 个

C. 3 个

9. 在*面直角坐标系中,已知点 A(0,2) ,B( ? 2 3 ,0) ,C(0, ?2 ) ,D ( 2 3 ,0) ,则以这四个点为顶点的四边形 ABCD 是( D. 3 3a 2 A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形

3. 边长为 a 的正六边形的面积等于( A. B. a 2 C.

3 3 2 a 2
?6

4. 纳米是非常小的长度单位,已知 1 纳米= 10 A. 10 个
2

毫米,某种病毒的直 )
8

径为 100 纳米,若将这种病毒排成 1 毫米长,则病毒的个数是(
2

B. 10 个

4

C. 10 个

6

D. 10 个

10. 在*面直角坐标系中,已知点 A ( ?4 ,0) ,B(2,0) ,若点 C 在一次函 1 数 y = ? x + 2 的图象上, 且△ABC 为直角三角形, 则满足条件的点 C 有 ( ) 2 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
1

5. 把抛物线 y = 2x 向上*移 5 个单位,所得抛物线的解析式为 (
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二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. 11. 不等式组 ?

?3x + 2 > 2( x ? 1), 的解集为 ?x + 8 > 4x ?1
2 2

.

1? 1? ? ? 12. 若 ? x + ? = 9 ,则 ? x ? ? 的值为 x? x? ? ?
2

.

16. 如图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 边的中点,G,F 分别为 AD,BC 边上 的点,若 AG = 1 , BF = 2 , ∠GEF = 90° ,则 GF 的长为 .

13. 已知抛物线 y = x ? 2 x ? 3 ,若点 P ( ?2 ,5)与点 Q 关于该抛 物线的对称轴对称,则点 Q 的坐标是 请你计算:志愿者申请人的总数为 0.1%) ,它所对应的扇形的圆心角约为 . 万;其中“京外省区市”志 %( 精 确 到 (度) (精确到度) . 14. 如图,是北京奥运会、残奥会赛会志愿者申请来源的统计数据, 愿者申请人数在总人数中所占的百分比约为

17. 已知关于 x 的函数同时满足下列三个条件: ①函数的图象不经过第二象限; ②当 x < 2 时,对应的函数值 y < 0 ; ③当 x < 2 时,函数值 y 随 x 的增大而增大. 你认为符合要求的函数的解析式可以是: (写出一个即可) . 18. 如图①, O1 , O2 , O3 , O4 为四个等圆的圆心,A,B,C,D 为切点,请 你在图中画出一条直线,将这四个圆分成面积相等的两部分,并说明这条直线经 ;如图②, O1 , O2 , O3 , O4 , O5 为五个等圆的 过的两个点是 圆心,A,B,C,D,E 为切点,请你在图中画出一条直线,将这五个圆分成面积 ... 相等的两部分,并说明这条直线经过的两个点是 15. 如图,已知△ABC 中,EF∥GH∥IJ∥BC,则图中相似三角形共 有
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.

对.
2

21. (本小题 8 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,⊙O 为内切圆,E 为切点, 三、解答题:本大题共 8 小题,共 66 分. 解答应写出文字说明、演算 步骤或证明过程. 19. (本小题 6 分) 解二元一次方程组 ? (Ⅰ)求 ∠AOD 的度数; (Ⅱ)若 AO = 8 cm, DO = 6 cm,求 OE 的长.

?3x + 5 y = 8, ?2 x ? y = 1.

20. (本小题 8 分) 已知点 P(2,2)在反比例函数 y = (Ⅰ)当 x = ?3 时,求 y 的值; (Ⅱ)当 1 < x < 3 时,求 y 的取值范围.
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k ( k ≠ 0 )的图象上, x

23. (本小题 8 分) 22. (本小题 8 分) 下面是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况 (单位: 千米/时). 热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30° ,看这栋高楼 底部的俯角为 60° ,热气球与高楼的水*距离为 66 m,这栋高楼有多高?(结 果精确到 0.1 m,参考数据: 3 ≈ 1.73 )

请分别计算这些车辆行驶速度的*均数、中位数和众数(结果精确 到 0.1).

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24. (本小题 8 分) 天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹 克中心内,某校九年级学生由距“水滴”10 千米的学校出发前往参观, 一部分同学骑自行车先走,过了 20 分钟后,其余同学乘汽车出发,结 果他们同时到达. 已知汽车的速度是骑车同学速度的 2 倍,求骑车同学 的速度. (Ⅰ)设骑车同学的速度为 x 千米/时,利用速度、时间、路程之间 的关系填写下表.

25. (本小题 10 分) 已知 Rt△ABC 中, ∠ACB = 90° , CA = CB ,有一个圆心角为 45° ,半径的长 等于 CA 的扇形 CEF 绕点 C 旋转,且直线 CE,CF 分别与直线 AB 交于点 M,N. ( Ⅰ ) 当 扇 形 CEF 绕 点 C 在 ∠ACB 的 内 部 旋 转 时 , 如 图 ① , 求 证 :
MN 2 = AM 2 + BN 2 ;

思路点拨:考虑 MN 2 = AM 2 + BN 2 符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角 形中解决. 可将△ ACM 沿直线 CE 对折, 得△ DCM , DN , 连 只需证 DN = BN ,
∠MDN = 90° 就可以了.

请你完成证明过程: 速度(千米/ 时) 骑自行车 乘汽车 (Ⅱ)列出方程(组) ,并求出问题的解. (Ⅱ)当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图②的位置时,关系式 MN 2 = AM 2 + BN 2 是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 所用时间(时) 所走的路程 (千 米) 10 10

x

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26. (本小题 10 分) 已知抛物线 y = 3ax 2 + 2bx + c , (Ⅰ)若 a = b = 1 , c = ?1 ,求该抛物线与 x 轴公共点的坐标; (Ⅱ)若 a = b = 1 ,且当 ?1 < x < 1 时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点, 求 c 的取值范围; (Ⅲ) a + b + c = 0 , x1 = 0 时, 若 且 对应的 y1 > 0 ;x 2 = 1 时, 对应的 y 2 > 0 , 试判断当 0 < x < 1 时,抛物线与 x 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没 有,阐述理由.

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2008 年天津市初中毕业升学考试数学试卷 (答案与解析) 答案与解析)
一、选择题: 1. 答案:A 解析: cos 60° = 2. 答案:D 解析:四个图形都是轴对称图形,故选 D. 3. 答案:C 解析:正六边形各顶点与中心连结,分成六个全等的等腰三角形.每个三角 形面积: ? a ? C. 4. 答案:B 解析: 纳米= 10 1 故选 B. 5. 答案:A 解析: y = 2x 2 向上*移 5 个单位,则解析式为 y = 2 x 2 + 5 ,故选 A. 6. 答案:C 解析:每枚硬币只有正面朝上或反面朝上两种情况.掷两枚硬币正面朝上的 概率为 7. A
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?6

解析:只有 A 符合条件,B、C、D 的俯视图在三视图中都没有,故选 A. 8. 答案:B 解析:Q 6 < 9. 答案:B 解析:由 A、B、C、D 四点坐标知,AC⊥BD 且 OA=OC,OB=OD,满足

40 < 7,∴ 2 < 40 ? 4 < 3 ,即 2 < m < 3 ,故选 B.

1 ,故选 A. 2

菱形的判定定理,故选 B. 10. 答案:D 解析:当 AB 为斜边时,以 AB 为直径的圆与直线 y = ?

1 x + 2 交于两点 2

C1 ,C 2 ;当 AB 为直角边时,有两种情况(1)∠A 为直角; (2)∠B 为直角.这
样满足条件的还有两个点.故选 D. 二、填空题: 11. 答案: ? 4 < x < 3 解析 :解不等 式 3 x + 2 > 2( x ? 1) 得 x > ?4 ,解不等 式 x + 8 > 4 x ? 1 得 毫米, 纳米 × 10 100
?6

1 2

3 3 2 3 2 3 3 2 a= a ,∴正六边形的面积: a ×6 = a ,故选 2 4 4 3

= 10 毫米, ÷ 10 1

?4

?4

= 10 (个) ,
4

x < 3 ,所以原不等式组的解集为 ? 4 < x < 3 .
12. 答案:5

1 1? ? 2 解析:由 ? x + ? = 9 展开得 x + 2 = 7 , x? x ? 1? 1 ? ∴? x ? ? = x2 ? 2 + 2 = 7 ? 2 = 5 . x? x ?
(4,5) 13. 答案: 解析:由 y = x 2 ? 2 x ? 3 = ( x ? 1) 2 ? 4 ,
2

2

1 1 1 × = ,故选 C. 2 2 4

故对称轴为 x = 1 ,点 P(-2,5)关于 x = 1 的对称点为(4,5) ,故 Q 点坐 标为(4,5) . 14. 答案:112.6;25.9;93° 解析: 2.8 + 2.2 + 0.7 + 0.2 + 0.3 + 29.2 + 77.2 = 112.6 (万) ,

意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分) ; O5、O,如图②(提示:答案不唯一,如 AO4、DO3、EO2、CO1 等均可)

29.2 × 100% ≈ 25.9%;25.9% × 360° ≈ 93° . 112.6
15. 答案:6 解析:题图中共有四个三角形,因为 EF//GH//IJ//BC,故它们彼此都相似, 共 6 对. 16. 答案:3 解析:如图①是中心对称图形,只要过中心 O 的任意直线均可. 如图②把这五个圆看作两个中心对称图形,满足条件的直线即为过两个对称 中心的直线. (如图②,把∵O5 看作一个图形,其余四个圆看作一个图形) 三、解答题: 19. 答案:Q ?

?3 x + 5 y = 8, ? 2 x ? y = 1. 由②得 y = 2 x ? 1 ,
代入③,得 y = 1 . ∴原方程组的解为 ?

① ②
③(1 分)

解析:延长 GE 与 CB 延长线交于 G ′ ,则△AGE△△ BG ′E ,

将③代入①,得 3 x + 5( 2 x ? 1) = 8 ,解得 x = 1 .

∴ AG = BG ′ = 1, GE = G ′E .
又Q EF ⊥ GE ,

∴ GF = FG ′ = FB + BG ′ = 3 . 17. 答案: y = x ? 2
解析:满足条件的有一次函数.如 y = x ? 2 ,同时满足三个条件.还可以是 二次函数,如 y = ?( x ? 2) , y = ? x + 5 x ? 6 等.
2 2

? x = 1, ? y = 1.

(6 分)

解析:本题主要考查二元一次方程组的解法.解决这类题目的关键是掌握方 程组的解法.通过观察本题用代入法较简单,把第二个式子变成 y=?的形式,直 接代入第一个式子,进行解答即可.也可用消元法解本题,不过计算量加大了.

18. 答案:O1、O3,如图①(提示:答案不唯一,过 O1O3 与 O2O4 交点 O 的任
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20. 答案: (1)∵点 P(2,2)在反比例函数 y =

k 的图象上. x

∴∠DAO+∠ADO=

1 (∠BAD+∠ADC)=90°. 2
(4 分)

∴2 =

k ,即 k = 4 . 2

(2 分)

∴∠AOD=180°-(∠DAO+∠ADO)=90°.

∴反比例函数的解析式为 y = ∴当 x = ?3 时, y = ?

4 . x
(4 分)

4 . 3

(2)∵当 x = 1 时, y = 4 ;当 x = 3时,y = 又反比例函数 y = 分) ∴当 1 < x < 3 时,y 的取值范围为

4 , 3

(6 分) ( 7

(2)∵在 Rt△AOD 中, AO = 8cm, DO = 6cm , ∴由勾股定理,得 AD = ∴∠AEO=∠AOD.

4 在 x > 0 时,y 值随 x 值的增大而减小. x 4 < y < 4. 3
(8 分)

AO 2 + DO 2 = 10cm .

(5 分) (6 分) (7 分) (8 分)

∵E 为切点,∴OE⊥AD,有∠AEO=90°. 又∠OAD 为公共角,∴△AEO∴△AOD.

解析:本题综合考查了反比例函数的解析式及其图象上点的坐标特征.本题 (1)直接将点 P 的坐标代入反比例函数的解析式,求得比例系数 k,从而确定反 比例函数的解析式,再进一步求得当 x=-3 时,y 的值; (2)可以借助函数的图象 的特点:k>0,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小,来确定当 1<x<3 时函数 y 的取值范围.其关键是求出横坐标分别是 1 和 3 的函数值. 21. 答案: (1)Q AB // CD,∴ ∠BAD + ∠ADC = 180°. ∵∵O 内切于梯形 ABCD, ∴AO *分∠BAD,有∠DAO= (1 分)



OE AO AO ? OD = ,∴ OE = = 4.8cm . OD AD AD

解析:本题主要考查梯形的性质、切线长定理、勾股定理、相似三角形的性 质、直角三角形的面积计算方法等知识.本题解题的关键是(1)明确 AO、DO 分别*分角∠DAB、∠ADC; (2)求出 AD 后,在 Rt△AOD 中,借助直角三角 形的面积的两种表示方式就可以求出斜边上的高 OE. 也可用三角形相似来求 OE 的长. 22. 答案:观察直方图,可得 车速为 50 千米/时的有 2 辆,车速为 51 千米/时的有 5 辆, 车速为 52 千米/时的有 8 辆,车速为 53 千米/时的有 6 辆, 车速为 54 千米/时的有 4 辆,车速为 55 千米/时的有 2 辆,
9

1 ∠BAD,DO *分∠ADC,有∠ADO= 2

1 ∠ADC. 2
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车辆总数为 27,

(2 分)

∴这些车辆行驶速度的*均数为

得 BD=AD·tan∠BAD= 66 × tan 30° = 66 × ( 4 在 Rt△ADC 中,由 tan∠CAD =

3 = 22 3 . 3

1 (50 × 2 + 51 × 5 + 52 × 8 + 53 × 6 + 54 × 4 + 55 × 2) ≈ 52.4 . 27
分)

CD , AD 得 CD=AD·tan∠ CAD = 66 × tan 60° = 66 × 3 = 66 3 .

(6 分)

∵将这 27 个数据按从小到大的顺序排列,其中第 14 个数是 52,∴这些车辆 行驶速度的中位数是 52. (6 分) (8 分) ∵在这 27 个数据中,52 出现了 8 次,出现的次数最多, ∴这些车辆行驶速度的众数是 52. 解析:本题主要考查条形统计图、*均数、中位数、众数等相关知识.解决 本题先根据图形确定一定车速下的车的数量,从而再利用*均数的公式求得*均 数,将所有车辆数数据 27 个按从小到大的顺序排列得到中间的那个数即为中位 数,出现次数最多的那个数为 52,所以这些车辆行驶速度的众数是 52. 23. 答案:如图,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D,

∴ BC = BD + CD = 22 3 + 66 3 = 88 3 ≈ 152.2 .
答案:这栋楼高约为 152.2m. (8 分) 解析:本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题.此类题目的解题方 法是借助仰角、俯角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角 形.本题中关键是找到仰角和俯角,并通过作辅助线垂线 AD 在图中构造两个直 角三角形,将楼高分成两部分,在 Rt△ABD 中,利用 30°角的正切求出 BD;在 Rt△ACD 中,利用 60°角的正切求出 CD,二者相加即可. 24. 答案: (1) 速度(千米/时) 骑自行车 乘汽车 所用时间(时) 所走的路程(千 米) x 2x

10 x 10 2x

10 10

根据题意,可得∠BAD=30°,∠CAD=60°,AD=66. 在 Rt△ADB 中,由 tan∠BAD =

(2 分)

(3 分) (2)根据题意,列方程得 解这个方程,得 x = 15 .
10

BD , AD

10 10 1 = + . x 2x 3

(5 分) (7 分)

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经检验, x = 15 是原方程的根. 所以 x = 15 . 答:骑自行车同学的速度为每小时 15 千米. (8 分) 解析:本题主要考查分式方程在实际生活中的应用.解决此类问题要根据题 意找好等量关系方可列出方程,求解后要注意检验,要满足两个方面:①要满足 方程②要满足实际问题.本题中(1)时间=路程÷速度;速度=路程÷时间. (2) 等量关系为:骑自行车同学所用时间=坐汽车同学所用时间+1/3. 25. 答案: (1)证明:将△ACM 沿直线 CE 对折,得△DCM,连结 DN,则 △DCM△△ACM. (1 分)

∴在 Rt△MDN 中,由勾股定理, 得 MN = DM + DN .即 MN = AM + BN .
2 2 2 2 2 2

(6 分) (7 分)

(2)关系式 MN = AM + BN 仍然成立.
2 2 2

证明:将△ACM 沿直线 CE 对折,得△GCM,连结 GN.

则△GCM△△ACM. 有 CG=CA,GM=AM, ∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM. 有 CD = CA, DM = AM , ∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A. 又由 CA=CB,得 CD=CB. 由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM, ∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM =90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM, 得∠DCN=∠BCN. 又 CN=CN,∴△CDN△△CBN. 有 DN=BN,∠CDN=∠B. ∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°. (5 分)
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(8 分)

又由 CA=CB,得 CG=CB. 由∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°, ∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-(∠ECF-∠ACM) =45°+∠ACM.得∠GCN=∠BCN. 又 CN=CN,∴△CGN△△CBN. (9 分)

(2 分)

(3 分) (4 分)

有 GN=BN,∠CGN=∠B=45°,∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°, ∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°. ∴在 Rt△MGN 中,由勾股定理, 得 MN = GM + GN .即 MN = AM + BN .
2 2 2 2 2 2

(10 分)

解析:本题主要考查圆心角、弧、弦的关系;勾股定理.此题的关键是辅助 线,让 MN2=AM2+BN2 符合勾股定理的形式,转化为在直角三角形中解决.做几 何题作辅助线是关键, 所以学生要尽可能多的从题中总结, 加辅助线的规律. (Ⅰ) 解题关键是作辅助线构造△MND 后证明其为直角三角形,即证 DN=BN,∠ MDN=90°,可通过对折后图形的性质及三角形全等的性质来进行证明,这里有两 组三角形全等; (Ⅱ)与(Ⅰ)不同之处在于扇形 CEF 绕点 C 由 ∠ACB 的内部旋 转到外部,证明方法思路不变. 26. 答 案 : 1 ) 当 a = b = 1, c = ?1 时 , 抛 物 线 为 y = 3 x + 2 x ? 1 , 方 程 (
2

②当 c <

1 时, 3

x1 = ?1时,y1 = 3 ? 2 + c = 1 + c , x 2 = 1时,y 2 = 3 + 2 + c = 5 + c .
由已知 ? 1 < x < 1 时,该抛物线与 x 轴有且只有一个公共点, 考虑其对称轴为 x = ? 解得 ? 5 < c ≤ ?1 . 综上, c =

1 ? y ≤ 0, ?1 + c ≤ 0, ,应有 ? 1 即? 3 ? y 2 > 0. ?5 + c > 0.

3 x 2 + 2 x ? 1 = 0 的两个根为 x1 = ?1, x 2 =

1 . 3
(2 分)

?1 ? ∴该抛物线与 x 轴公共点的坐标是 (?1,0)和? ,0 ? . ?3 ?

1 或 ? 5 < c ≤ ?1 . 3

(6 分)

(3)对于二次函数 y = 3ax 2 + 2bx + c , 由已知 x1 = 0 时, y1 = c > 0 ;

(2)当 a = b = 1 时,抛物线为 y = 3 x 2 + 2 x + c ,且与 x 轴有公共点. 对于方程 3 x + 2 x + c = 0 ,判别式 ? = 4 ? 12c ≥ 0,有c ≤
2

1 . 3

x 2 = 1时,y 2 = 3a + 2b + c > 0 ,
又 a + b + c = 0,∴ 3a + 2b + c = ( a + b + c) + 2a + b = 2a + b . 于是 2a + b > 0 .而 b = ? a ? c,∴ 2a ? a ? c > 0 , 即 a ? c > 0. ∴ a > c > 0 .
2

(3 分)

1 1 1 2 ①当 c = 时,由方程 3 x + 2 x + = 0 ,解得 x1 = x 2 = ? . 3 3 3
此时抛物线为 y = 3 x + 2 x +
2

1 ? 1 ? 与x 轴只有一个公共点 ? ? ,0 ? . 3 ? 3 ?

(7 分)

(4 分)
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∵关于 x 的一元二次方程 3ax + 2bx + c = 0 的判别式

? = 4b 2 ? 12ac = 4(a + c) 2 ? 12ac = 4[(a ? c) 2 + ac] > 0 ,
∴抛物线 y = 3ax 2 + 2bx + c 与 x 轴有两个公共点, 顶点在 x 轴下方. 分) (8 又该抛物线的对称轴 x = ?

符号得出相应的结论.

b , 3a

由 a + b + c = 0, c > 0,2a + b > 0 , 得 ? 2a < b < ? a ,

1 b 2 ∴ <? < . 3 3a 3
又由已知 x1 = 0时,y1 > 0;x 2 = 1时,y 2 > 0 ,观察图象,

可知在 0 < x < 1 范围内,该抛物线与 x 轴有两个公共点.

(10 分)

解析:本题主要考查二次函数与一元二次方程.解决此类问题借助图象,可 将抽象的问题直观化,此外还需明确:二次函数与 x 轴的交点的纵坐标为 0;抛 物线与 x 轴交点的个数就是一元二次方程根的个数.因此,本题的解答就是研究 在不同的条件下一元二次方程 3ax2+2bx+c=0 根的判别式的符号,依据判别式的
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