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七年级数学上册 4.4 整式 聚焦《整式的加减》中的数学

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聚焦《整式的加减》中的数学思想方法 学*数学不仅要学*数学知识,更重要的还要学*数学思想,因为数学思想是数学的灵 魂,它在指导数学学*和研究有着十分重要的作用.下面以《整式的加减》一章中的几个数 学思想为例说明之. 一、字母代数思想 字母表示数是代数的主要特征和重要标志,通过字母表示数有利发现问题的本质和规 律,从而迅速找到问题的解答方案. 例 1 小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作: 第一步 分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同; 第二步 从左边一堆拿出两张,放入中间一堆; 第三步 从右边一堆拿出一张,放入中间一堆; 第四步 左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆. 这时,小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是 . 分析:来三堆牌的张数为x,则操作第二步后,中间的牌数为x+2,左边为x-2;操作第 三步后,中间的牌数为x+3;操作第四步后,中间的牌数为x+3-(x-2)=x+3-x+2 =5. 二、整体处理思想 整式加减的实质是同类项的合并,而同类项的合并实际上是一种整体的变形.如计算: 3 a 2b +2 a 2b =5 a 2b .这里我们实际上是把 a 2b 作为一个整体,然后将这个整体的系数相 加.这种解决问题的方法就是数学中的整体思想方法,利用它进行解题可以收到化难为易, 化繁为简的效果. 例 2 已知 x 2 -2x-5=0,求 6x-3 x 2 +1 的值. 分析:要求所求代数式的值,一般方法是先求x的值,再代入计算.但就目前我们所学 的知识还不足以求出x的值,怎么办?考虑到已知和所求代数式的关系,运用整体思想,问 题便可以迎刃而解. 解:把 x 2 -2x作为整体,则已知就是 x 2 -2x=5,求值式就是-3( x 2 -2x)+1, 故 原式=-3×5+1=-14. 1 三、逆向思维思想 在本章中学*的合并同类项法则:几个同类项相加减,把它们的系数相加减,字母和字 母的指数不变.如计算:3 a 2b -2 a 2b +5 a 2b =(3-2+5)a 2b ,这里实际上就是逆向运 用乘法对加法的分配律,其中所体现的思想就是逆向思维思想.这种思想通常就是我们所说 的正难则反策略,运用这种思想可使一些“山穷水尽疑无路”的问题变成“柳暗花明又一 村”. 例 3 甲、乙、丙三个箱子内共有小球 384 个,先由甲箱取出若干个球放入乙、丙箱内, 所放个数分别为乙、丙箱内原有的个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后 由丙箱取出若干个球放入甲、乙两相内,放法同前,结果三箱内的小球个数恰好相等.问甲、 乙、丙各箱内原有小球各是多少个? 分析:直接入手需要设元,列方程(组),但列方程(组)时却无从下手.从最后三箱 的小球相等如手,易知最后每箱各有小球 384÷3=128(个);由后到先三次调动过程各箱 中的球数容易列出下表: 甲箱 乙箱 丙箱 第三次 128 128 128 第二次 64 46 256 第一次 32 224 128 初始 208 112 64 显然,由表立知甲、乙、丙三箱原有小球分别为 208 个、112 个、64 个. 四、化归思想 在进行整式加减运算时,实际上进行的是同类项的合并,而同类项的合并实际上是系数 的相加减,因此,整式的加减最终要化归为数的加减来解决.如上述所说的计算:3 a 2b - 2 a 2b +5 a 2b =(3-2+5)a 2b =6 a 2b .这就是化归思想.运用化归思想可以把一些陌生 的问题转化为我们所熟悉的、或已经解决过的问题. 例 4 已知 A=-3 x 2 -2mx+3x+1,B=2 x 2 +mx-1,且 2A+3B 的值与x无关, 求m的值. 分析:把 A、B 所表示的多项式代入 3A+2B,问题化归为整式的加减运算,即 3A+2B =3(-3 x 2 -2mx+3x+1)+2(2 x 2 +mx-1)=(6-m)x-1,这是一个我们所 2 熟悉的形如ax+b的代数式,对此我们早已知道,当a=0 时,ax+b的值与x无关, 故由 6-m=0,得m=6. 3



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