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高考数学一轮复*第九章算法初步统计统计案例第二节随机抽样学案文含解析新人教A版

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第二节 随机抽样
2019 考纲考题考情

1.简单随机抽样 (1)定义:设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N), 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽 样。 (2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法。 2.系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本。 (1)先将总体的 N 个个体编号。 (2)确定分段间隔 k,对编号进行分段,当Nn是整数时,取 k=Nn。 (3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k)。 (4)按照一定的规则抽取样本,通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l+k),再 加 k 得到第 3 个个体编号(l+2k),依次进行下去,直到获取整个样本。 3.分层抽样 (1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地 抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样。 (2)分层抽样的应用范围: 当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样。

1.随机数法编号要求:应保证各号数的位数相同,而抽签法则无限制。 2.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的。 3.系统抽样是等距抽样,入样个体的编号相差Nn的整数倍。 4.分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比。

一、走进教材

1.(必修 3P100A 组 T1 改编)在“世界读书日”前夕,为了了解某地 5 000 名居民某天的

阅读时间,从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中,5 000 名居民

的阅读时间的全体是( )

A.总体

B.个体

C.样本的容量

D.从总体中抽取的一个样本

解析 由题目条件知,5 000 名居民的阅读时间的全体是总体;其中 1 名居民的阅读时

间是个体;从 5 000 名居民某天的阅读时间中抽取的 200 名居民的阅读时间是从总体中抽取

的一个样本,样本容量是 200。故选 A。

1

答案 A

2.(必修 3P64A 组 T6 改编)在一次游戏中,获奖者可以得到 5 件不同的奖品,这些奖品 要从由 1~50 编号的 50 种不同奖品中随机抽取确定,用系统抽样的方法为某位获奖者确定

5 件奖品的编号可以为( )

A.5,15,25,35,45

B.1,3,5,7,9

C.11,22,33,44,50

D.12,15,19,23,28

解析 采用系统抽样的等距抽样法,抽样间距为550=10,随机抽取第 1 个奖品号,设为

a(1≤a≤10),则其他奖品号分别为 10+a,20+a,30+a,40+a,所以可知 A 正确。

答案 A

3.(必修 3P64A 组 T5 改编)一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个

容量为 10 的样本。已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为112,则总体中的个体数为(

)

A.40

B.60

C.80

D.120

解析 因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本。由 B 层中每个个体被

抽到的概率都为112,知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是112,所以总体中的个体数为

10÷112=120。故选 D。

答案 D

二、走*高考

4.(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差

异。为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、

分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是________。

解析 由题意,不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,故采取分层抽样法。

答案 分层抽样

三、走出误区

微提醒:①随机数表法的规则不熟出错;②系统抽样中先剔除部分个体,再分段;③分

层抽样每层抽取的抽样比是相同的。

5.总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 5 个

个体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,

则选出来的第 5 个个体的编号为( )

A.08

B.07

C.02

D.01

解析 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于

20 的编号依次为 08,02,14,07,01,所以第 5 个个体的编号为 01。故选 D。

答案 D

6.某公司有员工 500 人,其中不到 35 岁的有 125 人,35~49 岁的有 280 人,50 岁以

2

上的有 95 人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取 100 名员工,则应在这三个年龄段

分别抽取人数为( )

A.33,34,33

B.25,56,19

C.30,40,30

D.30,50,20

解析 因为 125∶280∶95=25∶56∶19,所以抽取人数分别为 25 人,56 人,19 人。

故选 B。

答案 B

7.某学校为了解高一年级 1 203 名学生对某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容

量为 40 的样本,若采用系统抽样,则分段间隔为________。

解析 因为 1 203 除以 40 不是整数,所以需随机剔除 3 个个体,从而每一段有 30 个个

体,则分段间隔为 30。

答案 30

考点一简单随机抽样

【例 1】 (1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )

①从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本;

②盒子里共有 80 个零件,从中选出 5 个零件进行质量检验。在抽样操作时,从中任意

拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;

③从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检查;

④某班有 56 名同学,指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛。

A.0

B.1

C.2

D.3

(2)假设要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取

60 袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将 800 袋牛奶按 000,001,…,799 进行编号,

如果从随机数表第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 5 袋牛奶的编号

________。(下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行)

解析 (1)①不是简单随机抽样。因为被抽取样本的总体的个体数是无限的,而不是有 限的。②不是简单随机抽样。因为它是放回抽样。③不是简单随机抽样。因为这是“一次性” 抽取,而不是“逐个”抽取。④不是简单随机抽样。因为指定个子最高的 5 名同学是 56 名 中特指的,不具有随机性,不是等可能的抽样。故选 A。
(2)找到第 8 行第 7 列的数开始向右读,第一个符合条件的是 785;第二个数 916>799, 舍去;第三个数 955>799,舍去;第四个数 567 符合题意,这样再依次读出结果为 199,507,175。
答案 (1)A (2)785,567,199,507,175

抽签法与随机数表法的适用情况 1.抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数表法适用于总体中个体数较多的情 况。 2.一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:

3

一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀。一般地,当总体容量和样本容量都较小时可

用抽签法。

【变式训练】 (1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )

A.在某年明信片销售活动中,规定每 100 万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确

定号码的后四位为 2 709 的为三等奖

B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔 30 分钟抽一包产品,称其重量

是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构改

革的意见

D.用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验

(2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1 534

石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( )

A.134 石

B.169 石

C.338 石

D.1 365 石

解析 (1)A,B 不是简单随机抽样,因为抽取的个体间的间隔是固定的;C 不是简单随

机抽样,因为总体中的个体有明显的层次;D 是简单随机抽样。故选 D。

(2)设这批米内夹谷 x 石,则由题意知,22584=1 x534,即 x=22584×1 534≈169。故选 B。

答案 (1)D (2)B

考点二系统抽样

【例 2】 (1)为了解 1 000 名学生的学*情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量

为 40 的样本,则分段的间隔为( )

A.50

B.40

C.25

D.20

(2)将高一(九)班参加社会实践编号为 1,2,3,…,48 的 48 名学生,采用系统抽样的方

法抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号,29 号,41 号学生在样本中,则样本中还有一名学

生的编号是________。

解析 (1)由系统抽样的定义知,分段间隔为1 40000=25。故选 C。

(2)根据系统抽样的概念,所抽取的 4 个样本的编号应成等差数列,因为在这组数中的

间距为 41-29=12,所以所求的编号为 5+12=17。

答案 (1)C (2)17

N 用系统抽样法抽取样本,当n不为整数时,取

k=???Nn???,即先从总体中用简单随机抽样的

方法剔除(N-nk)个个体,且剔除多余的个体不影响抽样的公*性。

【变式训练】 某学校采用系统抽样的方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50

名学生做视力检查。现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号。已知从 33~48 这 16 个数中抽到

的数是 39,则在第 1 小组 1~16 中随机抽到的数是( )

A.5

B.7

4

C.11

D.13

解析 把 800 名学生分成 50 组,每组 16 人,各小组抽到的数构成一个公差为 16 的等

差数列,39 在第 3 组。所以第 1 组抽到的数为 39-32=7。故选 B。

答案 B

考点三分层抽样

【例 3】 (1)(2019·河南名校联考)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今

有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱

数多少衰出之,问各几何?”其意为:“今有甲带了 560 钱,乙带了 350 钱,丙带了 180 钱,

三人一起出关,共需要交关税 100 钱,依照钱的多少按比例出钱”,则丙应出________钱(所

得结果四舍五入,保留整数)。

(2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位:人)。

篮球组

书画组

乐器组

高一

45

30

a

高二

15

10

20

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的方法,从参加这三个

兴趣小组的学生中抽取 30 人,结果篮球组被抽出 12 人,则 a 的值为________。

180

18 000

解析 (1)按照钱的多少按比例出钱,所以丙应该出钱为560+350+180×100= 1 090

≈17。

(2)由分层抽样得451+215=1203+0 a,解得 a=30。

答案 (1)17 (2)30

1.分层抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原则是:层内样本的差异

要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠。 2.进行分层抽样的相关计算时,常用到的两个关系 (1)总样体本的容个量体n数N=该该层层抽的取个的体个数体数。

(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比。

【变式训练】 (1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调 查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本中的老年教师人数为

()

类别

人数

老年教师

900

中年教师

1 800

青年教师

1 600

合计

4 300

A.90 C.180

B.100 D.300

5

(2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件,采用分层抽样的方法从中抽取一个 容量为 80 的样本进行质量检测。若样本中有 50 件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品 总数为________件。
解析 (1)设该样本中的老年教师人数为 x,由题意及分层抽样的特点得90x0=1362000, 故 x=180。故选 C。
(2)由题设,抽样比为4 88000=610。设甲设备生产的产品为 x 件,则6x0=50,所以 x=3 000。 故乙设备生产的产品总数为 4 800-3 000=1 800。
答案 (1)C (2)1 800

错误! 1.(配合例 2 使用)某校高三(2)班现有 64 名学生,随机编号为 0,1,2,…,63,依编 号顺序*均分成 8 组,组号依次为 1,2,3,…,8。现用系统抽样方法抽取一个容量为 8 的 样本,若在第 1 组中随机抽取的号码为 5,则在第 6 组中抽取的号码为________。 解析 由题知分组间隔为684=8,又第 1 组中抽取的号码为 5,所以第 6 组中抽取的号 码为 5×8+5=45。 答案 45 2.(配合例 2 使用)已知某地区中小学生人数和*视情况分别如图①和图②所示。为了 了解该地区中小学生的*视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本 容量和抽取的高中生*视人数分别为( )

A.100,20

B.200,20

C.200,10

D.100,10

解析 由题图①可知学生总人数是 10 000,样本容量为 10 000×2%=200,抽取的高中

生人数是 2 000×2%=40,由题图②可知高中生的*视率为 50%,所以高中生的*视人数为

40×50%=20。故选 B。

答案 B

6




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